## بحث عن المتجهات

المتجهات (Vectors) هي كميات فيزيائية لها مقدار (Magnitude) واتجاه (Direction). تختلف عن الكميات القياسية (Scalar Quantities) التي لها مقدار فقط، مثل الكتلة والزمن والحرارة. تُستخدم المتجهات على نطاق واسع في الفيزياء والهندسة وعلوم الحاسوب لتمثيل العديد من الظواهر، مثل السرعة، التسارع، القوة، الإزاحة.

1. تمثيل المتجهات :

يمكن تمثيل المتجه بعدة طرق:

*

رمزيًا:

يرمز للمتجهات عادةً بحروف كبيرة مُزودة بسهم فوقها، مثل $\vec{A}$ أو $\mathbf{A}$.
*

رسوميًا:

يُمثل المتجه بسهم، حيث يمثل طول السهم مقدار المتجه، واتجاه السهم يمثل اتجاه المتجه. نقطة بداية السهم هي نقطة الأصل، ونقطة نهايته هي نهاية المتجه.
*

تحليليًا:

يُمثل المتجه كمجموعة من المُركبات (Components) على محاور الإحداثيات (عادةً x و y و z في الفضاء ثلاثي الأبعاد). مثلاً، في بعدين، يمكن تمثيل المتجه $\vec{A}$ بمُركبتيه $A_x$ و $A_y$.

2. عمليات على المتجهات:

يمكن إجراء العديد من العمليات الحسابية على المتجهات، من أهمها:

*

جمع المتجهات:

يتم جمع متجهين هندسيًا برسم متجه ثاني من نهاية الأول، والمتجه الناتج هو المتجه الذي يمتد من بداية الأول إلى نهاية الثاني (قانون المثلث). تحليليًا، يتم جمع المركبات الموافقة لكل متجه. $\vec{R} = \vec{A} + \vec{B} \implies R_x = A_x + B_x, R_y = A_y + B_y$.
*

طرح المتجهات:

طرح متجه $\vec{B}$ من متجه $\vec{A}$ هو نفس جمع متجه $\vec{A}$ مع متجه سالب $\vec{B}$ (عكس اتجاه $\vec{B}$ ونفس مقداره). $\vec{R} = \vec{A} - \vec{B} = \vec{A} + (-\vec{B})$.
*

ضرب المتجه في قياسي (Scalar Multiplication):

ضرب المتجه في قياسي يُغير مقداره فقط، وليس اتجاهه. إذا كان القياسي موجبًا، يبقى اتجاه المتجه كما هو، وإذا كان سالبًا، يتغير اتجاه المتجه إلى عكسه. $k\vec{A}$ حيث k قياسي.
*

الضرب القياسي (Dot Product):

نتيجة الضرب القياسي لمتجهين هي قياسي، يُعطى بالعلاقة: $\vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}||\vec{B}|\cos\theta$ ، حيث $\theta$ هي الزاوية بين المتجهين. يُستخدم لحساب الشغل المنجز مثلاً.
*

الضرب الاتجاهي (Cross Product):

نتيجة الضرب الاتجاهي لمتجهين هي متجه، يكون عموديًا على المستوى الذي يحوي المتجهين الأصليين. مقدار المتجه الناتج يُعطى بالعلاقة: $|\vec{A} \times \vec{B}| = |\vec{A}||\vec{B}|\sin\theta$. اتجاه المتجه الناتج يُحدد بقاعدة اليد اليمنى. يُستخدم لحساب عزم الدوران مثلاً.


3. تطبيقات المتجهات:

تُستخدم المتجهات في العديد من المجالات، منها:

*

الفيزياء:

تمثيل السرعة، التسارع، القوة، الزخم، الحقل الكهربائي، الحقل المغناطيسي.
*

الهندسة:

تمثيل الإزاحة، القوى المؤثرة على الهياكل، تحليل الإجهاد والانفعال.
*

علوم الحاسوب:

الرسوميات الحاسوبية، الذكاء الاصطناعي، معالجة الصور.
*

الجغرافيا:

تمثيل الموقع، الاتجاه، السرعة، والتسارع.


4. أنواع المتجهات الخاصة:

* متجه الوحدة (Unit Vector):

متجه مقداره 1.
*

متجهات متوازية (Parallel Vectors):

متجهات لها نفس الاتجاه.
*

متجهات متعامدة (Orthogonal Vectors):

متجهات تشكل زاوية قائمة بينها (الضرب القياسي يساوي صفر).
*

متجهات صفرية (Zero Vector):

متجه مقداره صفر.


هذا البحث يُقدم لمحة عامة عن المتجهات. يمكن التوسع في دراسة المواضيع المختلفة بشكل أعمق، مثل الجبر الخطي الذي يدرس المتجهات والمصفوفات بشكل مُعمق.