قوانين حساب المثلثات كثيرة ومتنوعة، وتعتمد على العلاقات بين زوايا وأضلاع المثلث. إليك بعض أهم القوانين، مقسمة حسب نوعها :

1. النسب المثلثية الأساسية:

*

الجيب (sin):

sin θ = (الضلع المقابل للزاوية) / (الوتر)
*

الجتا (cos):

cos θ = (الضلع المجاور للزاوية) / (الوتر)
*

ظل (tan):

tan θ = (الضلع المقابل للزاوية) / (الضلع المجاور للزاوية)
*

قاطع (sec):

sec θ = 1 / cos θ = (الوتر) / (الضلع المجاور للزاوية)
*

قاطع تام (csc):

csc θ = 1 / sin θ = (الوتر) / (الضلع المقابل للزاوية)
*

ظل تام (cot):

cot θ = 1 / tan θ = (الضلع المجاور للزاوية) / (الضلع المقابل للزاوية)

2. العلاقات بين النسب المثلثية:

*

هوية فيثاغورس:

sin²θ + cos²θ = 1
*

علاقات أخرى:

* tan θ = sin θ / cos θ
* cot θ = cos θ / sin θ
* sec²θ = 1 + tan²θ
* csc²θ = 1 + cot²θ


3. قوانين المثلثات:

*

قانون الجيب:

a / sin A = b / sin B = c / sin C (حيث a, b, c أضلاع المثلث و A, B, C زواياه المقابلة)
*

قانون جيب التمام:

* a² = b² + c² - 2bc cos A
* b² = a² + c² - 2ac cos B
* c² = a² + b² - 2ab cos C


4. زوايا خاصة:

يُنصح بحفظ قيم النسب المثلثية للزوايا الخاصة (0°, 30°, 45°, 60°, 90°) فهي تُستخدم بكثرة في الحلول.


5. الصيغ ذات الزاوية المزدوجة:

* sin 2θ = 2 sin θ cos θ
* cos 2θ = cos²θ - sin²θ = 2cos²θ - 1 = 1 - 2sin²θ
* tan 2θ = (2 tan θ) / (1 - tan²θ)


6. الصيغ ذات الزاوية النصفية:

* sin (θ/2) = ±√[(1 - cos θ) / 2]
* cos (θ/2) = ±√[(1 + cos θ) / 2]
* tan (θ/2) = ±√[(1 - cos θ) / (1 + cos θ)] = sin θ / (1 + cos θ) = (1 - cos θ) / sin θ

ملاحظات هامة:

* علامة (±) في صيغ الزاوية النصفية تعتمد على ربع الزاوية (θ/2).
* يُعتبر فهم العلاقات بين هذه القوانين مهمًا جدًا لحل مسائل حساب المثلثات.
* تُستخدم هذه القوانين في مجالات متعددة، مثل الهندسة، الفيزياء، والهندسة الكهربائية.


هذا ليس قائمة شاملة، ولكنها تغطي معظم القوانين الأساسية المستخدمة بشكل شائع في حساب المثلثات. يُنصح بمراجعة كتب وموارد تعليمية متخصصة لمزيد من التفاصيل والتطبيقات.