تحليل كثيرات الحدود هو عملية كتابة كثير حدود على شكل جداء عوامل أبسط. وهذه العملية أساسية في الجبر، وتستخدم لحل المعادلات، ورسم الدوال، و العديد من التطبيقات الأخرى. هناك عدة تقنيات لتحليل كثيرات الحدود، منها :

1. إخراج العامل المشترك الأكبر (GCF):

هذه هي أبسط طريقة، حيث يتم إيجاد العامل المشترك الأكبر بين جميع حدود كثير الحدود وإخراجه كعامل مشترك.

*

مثال:

3x² + 6x = 3x(x + 2)

2. التجميع:

يستخدم هذا الأسلوب عندما يكون كثير الحدود ذو أربعة حدود أو أكثر. يتم تجميع الحدود التي لها عوامل مشتركة، ثم إخراج العوامل المشتركة من كل مجموعة.

*

مثال:

xy + 2x + 3y + 6 = x(y + 2) + 3(y + 2) = (x + 3)(y + 2)

3. فرق بين مربعين:

إذا كان كثير الحدود على شكل a² - b²، فيمكن تحليله إلى (a + b)(a - b).

*

مثال:

x² - 9 = (x + 3)(x - 3)

4. مجموع أو فرق مكعبين:

يمكن تحليل مجموع أو فرق مكعبين باستخدام الصيغ التالية:

*

مجموع مكعبين:

a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)
*

فرق مكعبين:

a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)

*

مثال:

x³ + 8 = (x + 2)(x² - 2x + 4)

5. التحليل باستخدام الصيغ التربيعية:

إذا كان كثير الحدود من الدرجة الثانية (أي من الشكل ax² + bx + c)، فيمكن استخدام الصيغة التربيعية أو طريقة التجميع لإيجاد جذوره، ومن ثم تحليله إلى عوامل. الصيغة التربيعية هي:

x = [-b ± √(b² - 4ac)] / 2a

6. القسمة المطولة أو التركيبية:

إذا كان لدينا جذر لكثير الحدود، يمكننا استخدام القسمة المطولة أو التركيبية للعثور على العوامل الأخرى.

7. استخدام نظرية الجذور النسبية:

هذه النظرية تساعد في العثور على الجذور العقلانية لكثير الحدود.

8. التحليل باستخدام الهوية الناتجة عن التجميع:

هناك طرق اخرى تعتمد على تجميع الحدود بطرق مختلفة.

أمثلة متقدمة:

قد تتطلب كثيرات الحدود المعقدة استخدامًا متكررًا لهذه التقنيات، أو تقنيات أخرى متخصصة أكثر تقدماً.


يعتمد اختيار طريقة التحليل على شكل كثير الحدود ودرجته. من المهم محاولة إيجاد أبسط عوامل ممكنة. يُنصح بممارسة العديد من الأمثلة لفهم هذه التقنيات جيداً.