البرمجة الخطية (Linear Programming) هي أسلوب رياضي يُستخدم لحل مسائل التحسين (Optimization) حيث يكون الهدف هو تعظيم أو تصغير دالة خطية (دالة خطية تعني أن المتغيرات مرفوعة إلى أس واحد فقط، لا توجد أسس تربيعية أو أعلى) مع وجود قيود خطية على المتغيرات. بمعنى آخر، نبحث عن أفضل قيمة (أقصى أو أدنى) لدالة خطية تخضع لشروط معينة معبر عنها بمتباينات خطية.

عناصر المشكلة في البرمجة الخطية :

*

دالة الهدف (Objective Function):

هذه الدالة التي نريد تعظيمها أو تصغيرها. مثال: تعظيم الربح أو تصغير التكلفة.
*

المتغيرات (Variables):

الكميات التي نريد إيجاد قيمها المثلى. مثال: كمية المنتج A وكمية المنتج B.
*

القيود (Constraints):

شروط تحدد القيم الممكنة للمتغيرات. مثال: محدودية المواد الخام، وقت الإنتاج، مساحة التخزين. تُعبر عنها عادةً بمتباينات خطية.
*

شرط عدم السلبية (Non-negativity):

عادةً ما تكون قيم المتغيرات غير سالبة (أكبر من أو تساوي الصفر)، لأنها تمثل كميات مادية.

أمثلة على استخدامات البرمجة الخطية:

*

إدارة المخازن:

تحديد كمية كل منتج يجب تخزينه لتلبية الطلب مع تقليل التكلفة.
*

تخطيط الإنتاج:

تحديد كمية كل منتج يجب إنتاجه لتلبية الطلب مع مراعاة الموارد المتاحة.
*

النقل:

تحديد أفضل طرق نقل البضائع من المصانع إلى المستودعات لتقليل تكلفة النقل.
*

مزيج التغذية:

تحديد أفضل خليط من الأغذية لتلبية احتياجات غذائية معينة بأقل تكلفة.
*

تخصيص الموارد:

تخصيص الموارد المتاحة (مثل العمالة، المعدات، المواد الخام) لأداء المهام المختلفة بأكبر كفاءة.

طرق حل مشاكل البرمجة الخطية:

تستخدم خوارزميات خاصة لحل مسائل البرمجة الخطية، وأشهرها:

*

طريقة السيمبلكس (Simplex Method):

خوارزمية متكررة تنتقل من حل إلى آخر حتى الوصول إلى الحل الأمثل.
*

طريقة نقاط الرأس (Vertex Enumeration):

تتمثل في فحص جميع نقاط الرأس (الزوايا) لمنطقة الحل واختيار النقطة التي تعطي أفضل قيمة لدالة الهدف. هذه الطريقة فعالة فقط للمشاكل الصغيرة نسبياً.
*

الخوارزميات الداخلية (Interior Point Methods):

خوارزميات حديثة أكثر كفاءة من طريقة السيمبلكس لحل المشاكل الكبيرة.


البرمجة الخطية أداة قوية جدًا في حل مسائل التحسين في مجالات مختلفة، ولكنها تعتمد على افتراضية الخطية لكل من دالة الهدف والقيود. إذا كانت دالة الهدف أو القيود غير خطية، يجب استخدام أساليب تحسين أخرى مثل البرمجة غير الخطية.