المتتابعات (Sequences) في الرياضيات هي مجموعة مرتبة من الأعداد أو العناصر، تسمى

حدود

المتتابعة. يُشار إلى حدود المتتابعة بـ au003csubu003e1u003c/subu003e, au003csubu003e2u003c/subu003e, au003csubu003e3u003c/subu003e, ... حيث au003csubu003enu003c/subu003e يُمثل الحد n-th من المتتابعة.

هناك أنواع عديدة من المتتابعات، منها :

*

متتابعات حسابية (Arithmetic Sequences):

تتميز هذه المتتابعات بفرق ثابت بين أي حدين متتاليين يسمى

الفرق المشترك (common difference)

. مثال: 2, 5, 8, 11, ... (الفرق المشترك هو 3).

*

الصيغة العامة للحد n-th:

au003csubu003enu003c/subu003e = au003csubu003e1u003c/subu003e + (n-1)d ، حيث au003csubu003e1u003c/subu003e هو الحد الأول و d هو الفرق المشترك.
*

مجموع حدود المتتابعة الحسابية:

Su003csubu003enu003c/subu003e = n/2 [2au003csubu003e1u003c/subu003e + (n-1)d] أو Su003csubu003enu003c/subu003e = n/2 (au003csubu003e1u003c/subu003e + au003csubu003enu003c/subu003e)

*

متتابعات هندسية (Geometric Sequences):

تتميز هذه المتتابعات بنسبة ثابتة بين أي حدين متتاليين تسمى

النسبة المشتركة (common ratio)

. مثال: 3, 6, 12, 24, ... (النسبة المشتركة هي 2).

*

الصيغة العامة للحد n-th:

au003csubu003enu003c/subu003e = au003csubu003e1u003c/subu003e * ru003csupu003e(n-1)u003c/supu003e ، حيث au003csubu003e1u003c/subu003e هو الحد الأول و r هو النسبة المشتركة.
*

مجموع حدود المتتابعة الهندسية المحدودة:

Su003csubu003enu003c/subu003e = au003csubu003e1u003c/subu003e(1 - ru003csupu003enu003c/supu003e) / (1 - r) (حيث r ≠ 1)
*

مجموع حدود المتتابعة الهندسية اللانهائية (إذا كان |r| u003c 1):

S = au003csubu003e1u003c/subu003e / (1 - r)

*

متتابعات متزايدة (Increasing Sequences):

تكون متتابعات متزايدة إذا كان كل حد أكبر من الحد الذي يسبقه (au003csubu003enu003c/subu003e u003e au003csubu003en-1u003c/subu003e لكل n u003e 1).

*

متتابعات متناقصة (Decreasing Sequences):

تكون متتابعات متناقصة إذا كان كل حد أصغر من الحد الذي يسبقه (au003csubu003enu003c/subu003e u003c au003csubu003en-1u003c/subu003e لكل n u003e 1).

*

متتابعات متذبذبة (Oscillating Sequences):

تتذبذب هذه المتتابعات بين قيم أكبر وأصغر.

*

متتابعات حدودها ثابتة (Constant Sequences):

جميع حدودها متساوية.

*

متتابعات تكرارية (Recursive Sequences):

يُعرف فيها كل حد بدلالة حد أو حدود سابقة. مثال: متتابعة فيبوناتشي (1, 1, 2, 3, 5, 8, ...) حيث au003csubu003enu003c/subu003e = au003csubu003en-1u003c/subu003e + au003csubu003en-2u003c/subu003e (لكل n u003e 2).

*

متتابعات حدودها أعداد أولية (Prime Sequences):

حدودها أعداد أولية.

أهمية المتتابعات:

تُستخدم المتتابعات في العديد من المجالات، منها:

*

التحليل الرياضي:

في دراسة النهايات والمتسلسلات.
*

الاحصاء:

في تحليل البيانات ونمذجة الظواهر.
*

علوم الكمبيوتر:

في تصميم الخوارزميات وبناء الهياكل البيانات.
*

الفيزياء:

في نمذجة الحركة والظواهر الفيزيائية.
*

المالية:

في حساب الفائدة المركبة والنمو السكاني.


هذا شرح عام للمتتابعات. يمكن التعمق أكثر في كل نوع من أنواع المتتابعات وخصائصها.