قانون الجيب وقانون جيب التمام هما قانونان أساسيان في علم المثلثات يُستخدمان لحل مثلثات، أي لإيجاد أطوال أضلاعها وزواياها. يُمكن استخدامهما في مثلثات غير قائمة الزاوية.

قانون الجيب :

يُنص قانون الجيب على أن نسبة طول ضلع في مثلث إلى جيب الزاوية المقابلة لهذا الضلع هي ثابتة لجميع أضلاع المثلث. رياضياً:

```
a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C)
```

حيث:

* `a`, `b`, `c` أطوال أضلاع المثلث.
* `A`, `B`, `C` الزوايا المقابلة للأضلاع `a`, `b`, `c` على الترتيب.

متى نستخدم قانون الجيب؟

نستخدم قانون الجيب عندما نعرف:

* ضلعين وزاوية مقابلة لأحدهما (حالة SSA) (ملاحظة: هذه الحالة قد تكون لها حلان أو حل واحد أو لا حل على الإطلاق).
* زاويتين وضلع (حالة ASA أو AAS).

قانون جيب التمام:

يُنص قانون جيب التمام على علاقة بين أطوال أضلاع المثلث وزاوية واحدة فيه. هناك ثلاث صيغ لقانون جيب التمام، واحدة لكل ضلع:

```
a² = b² + c² - 2bc * cos(A)
b² = a² + c² - 2ac * cos(B)
c² = a² + b² - 2ab * cos(C)
```

حيث:

* `a`, `b`, `c` أطوال أضلاع المثلث.
* `A`, `B`, `C` الزوايا المقابلة للأضلاع `a`, `b`, `c` على الترتيب.

متى نستخدم قانون جيب التمام؟

نستخدم قانون جيب التمام عندما نعرف:

* ثلاثة أضلاع (حالة SSS).
* ضلعين والزاوية المحصورة بينهما (حالة SAS).

ملخص:

| الحالة | القانون المستخدم |
|---|---|
| ضلعين وزاوية مقابلة لأحدهما (SSA) | قانون الجيب |
| زاويتين وضلع (ASA أو AAS) | قانون الجيب |
| ثلاثة أضلاع (SSS) | قانون جيب التمام |
| ضلعين والزاوية المحصورة بينهما (SAS) | قانون جيب التمام |

من المهم ملاحظة أن قانون جيب التمام هو تعميم لنظرية فيثاغورس، التي تنطبق فقط على المثلثات القائمة الزاوية. عندما تكون الزاوية A تساوي 90 درجة، فإن cos(A) = 0، ويصبح قانون جيب التمام: a² = b² + c² وهي نظرية فيثاغورس.