الأعداد المركبة هي أعداد من الشكل a + bi، حيث :

*

a

هو الجزء الحقيقي (Real part) وهو عدد حقيقي.
*

b

هو الجزء التخيلي (Imaginary part) وهو عدد حقيقي.
* i

هو الوحدة التخيلية (Imaginary unit) حيث i² = -1.

وبناءً على ذلك، تمتلك الأعداد المركبة الخصائص التالية:

1. خصائص الحقل (Field Properties):

تُشكل الأعداد المركبة حقلًا، مما يعني أنها تُرضي خصائص الجمع والضرب التالية:

*

الجمع:

*

الإبدال:

z₁ + z₂ = z₂ + z₁
*

الجمعية:

(z₁ + z₂) + z₃ = z₁ + (z₂ + z₃)
*

عنصر محايد:

يوجد عدد مركب 0 (0 + 0i) بحيث z + 0 = z لكل z.
* معكوس جمعي:

لكل عدد مركب z يوجد عدد مركب -z بحيث z + (-z) = 0.

*

الضرب:

*

الإبدال:

z₁ * z₂ = z₂ * z₁
*

الجمعية:

(z₁ * z₂) * z₃ = z₁ * (z₂ * z₃)
*

عنصر محايد:

يوجد عدد مركب 1 (1 + 0i) بحيث z * 1 = z لكل z.
* معكوس ضربي:

لكل عدد مركب z ≠ 0 يوجد عدد مركب 1/z بحيث z * (1/z) = 1.

*

التوزيعية:

z₁(z₂ + z₃) = z₁z₂ + z₁z₃


2. الاقتران المركب (Complex Conjugate):

لكل عدد مركب z = a + bi، يوجد اقترانه المركب z̅ = a - bi. ويمتلك الاقتران المركب خصائص مهمة في العمليات الحسابية.


3. المقياس أو المعامل (Modulus):

يمثل المقياس |z| المسافة بين العدد المركب z ونقطة الأصل في المستوى المركب (مستوى أرجاند)، ويحسب كالتالي: |z| = √(a² + b²)


4. تمثيل هندسي:

يمكن تمثيل الأعداد المركبة هندسيًا في مستوى ثنائي الأبعاد يسمى مستوى أرجاند، حيث يمثل المحور الأفقي الجزء الحقيقي والمحور الرأسي الجزء التخيلي.


5. الجذور التربيعية:

لكل عدد مركب، يوجد جذرين تربيعيين على الأقل.


6. العمليات الحسابية:

يمكن إجراء جميع العمليات الحسابية الأساسية (الجمع، الطرح، الضرب، القسمة) على الأعداد المركبة.


7. استخدامات واسعة:

للأعداد المركبة تطبيقات واسعة في مجالات متنوعة مثل:

* الهندسة الكهربائية
* ميكانيكا الكم
* معالجة الإشارات
* الديناميكا الهوائية
* تحليل الدوال
* نظرية الأعداد


باختصار، الأعداد المركبة هي امتداد للأعداد الحقيقية تتيح حل معادلات رياضية لا يمكن حلها بالأعداد الحقيقية فقط، ولها خصائص هندسية وجبرية غنية.