تتميز النهايات في الرياضيات بعدة خصائص أساسية، وهي :

1. تفرد النهاية:

إذا وجدت نهاية دالة عند نقطة معينة، فإنها تكون فريدة. بمعنى آخر، لا يمكن لدالة أن تمتلك أكثر من نهاية واحدة عند نفس النقطة.

2. حدود الاشتقاق:

إذا كانت النهاية موجودة، فإن النهاية من اليمين تساوي النهاية من اليسار وتساوي قيمة النهاية. يعبر عن هذا رياضياً بالشكل التالي:

`lim_(x→c) f(x) = L` إذا وفقط إذا `lim_(x→c⁻) f(x) = lim_(x→c⁺) f(x) = L`

حيث:
* `c` هي النقطة التي نقترب منها.
* `L` هي قيمة النهاية.
* `x→c⁻` يعني أن x تقترب من c من اليسار (قيم أصغر من c).
* `x→c⁺` يعني أن x تقترب من c من اليمين (قيم أكبر من c).


3. العمليات الحسابية على النهايات:

يمكن إجراء العمليات الحسابية (الجمع، الطرح، الضرب، القسمة) على النهايات بشرط وجود كل من النهايتين المراد عملهما عليهما. مثلاً:

* `lim_(x→c) [f(x) + g(x)] = lim_(x→c) f(x) + lim_(x→c) g(x)`
* `lim_(x→c) [f(x) - g(x)] = lim_(x→c) f(x) - lim_(x→c) g(x)`
* `lim_(x→c) [f(x) * g(x)] = lim_(x→c) f(x) * lim_(x→c) g(x)`
* `lim_(x→c) [f(x) / g(x)] = lim_(x→c) f(x) / lim_(x→c) g(x)` ( بشرط أن `lim_(x→c) g(x) ≠ 0`)


4. النهايات والتعويض المباشر:

إذا كانت الدالة f(x) دالة متصلة عند النقطة c، فإن `lim_(x→c) f(x) = f(c)`. بمعنى آخر، يمكننا تعويض قيمة c مباشرة في الدالة لحساب النهاية.


5. النهايات والمتباينات:

إذا كانت `f(x) ≤ g(x)` عندما x تقترب من c، فإن `lim_(x→c) f(x) ≤ lim_(x→c) g(x)`. هذا ينطبق أيضاً على المتباينات الصارمة (u003c) بشرط وجود النهايات.


6. مبرهنة الضغط (أو مبرهنة الكماشة):

إذا كانت `f(x) ≤ g(x) ≤ h(x)` عندما x تقترب من c، و `lim_(x→c) f(x) = lim_(x→c) h(x) = L`، فإن `lim_(x→c) g(x) = L`.


7. النهايات اللانهائية:

تتعامل النهايات أيضاً مع الحالات التي تقترب فيها المتغير x من اللانهاية (∞ أو -∞)، أو عندما تقترب قيمة الدالة من اللانهاية.


هذه الخصائص أساسية لفهم و استخدام مفهوم النهايات في حساب التفاضل والتكامل وفي مجالات الرياضيات الأخرى. تعتبر فهمها جيداً مفتاحاً لفهم العديد من المفاهيم المتقدمة في الرياضيات.