التكامل المحدود في الرياضيات هو مفهوم أساسي في حساب التفاضل والتكامل. يمثل مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى دالة ما، محور السينات، وخطين عموديين على محور السينات عند قيمتين محددتين `a` و `b`.

تعريف رياضي :

إذا كانت `f(x)` دالة متصلة على الفترة `[a, b]`, فإن التكامل المحدود `∫u003csubu003eau003c/subu003eu003csupu003ebu003c/supu003e f(x) dx` يُعرّف على أنه:

*

باستخدام مجموع ريمان:

نأخذ تقسيمًا للفترة `[a, b]` إلى `n` مُستطيلات بعرض Δx = (b-a)/n. ثم نأخذ مجموع مساحات هذه المستطيلات. كلما زاد `n` (أي كلما صغر عرض المستطيلات)، يقترب هذا المجموع من قيمة التكامل المحدود.

*

باستخدام نظرية حساب التفاضل والتكامل الأساسية:

إذا وجدت دالة `F(x)` بحيث يكون مشتقها يساوي `f(x)` (أي `F[SQ](x) = f(x)`، وتسمى `F(x)` دالة أولية لـ `f(x)`)، فإن التكامل المحدود يُحسب كالتالي:

`∫u003csubu003eau003c/subu003eu003csupu003ebu003c/supu003e f(x) dx = F(b) - F(a)`

أهمية التكامل المحدود:

*

حساب المساحات:

كما ذكرنا سابقًا، يُستخدم لحساب مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى دالة و محور السينات. يمكن تعميم ذلك لحساب مساحات المناطق المحصورة بين منحنيين.

*

حساب الحجوم:

يُستخدم لحساب حجم الأجسام الثابتة.

*

حساب القيم المتوسطة:

يُستخدم لحساب القيمة المتوسطة لدالة على فترة معينة.

*

الفيزياء والهندسة:

له تطبيقات واسعة في الفيزياء (مثل حساب العمل، والسرعة، والتسارع) والهندسة (مثل حساب مركز ثقل الأشكال).

*

احتمالات وإحصاء:

يُستخدم في حساب احتمالات المتغيرات العشوائية المستمرة.

أمثلة:

* `∫u003csubu003e0u003c/subu003eu003csupu003e1u003c/supu003e x² dx = [x³/3]u003csubu003e0u003c/subu003eu003csupu003e1u003c/supu003e = (1³/3) - (0³/3) = 1/3` (هنا `F(x) = x³/3`)

* `∫u003csubu003e0u003c/subu003eu003csupu003eπu003c/supu003e sin(x) dx = [-cos(x)]u003csubu003e0u003c/subu003eu003csupu003eπu003c/supu003e = -cos(π) - (-cos(0)) = 2`

ملاحظات:

* التكامل المحدود يعطي قيمة عددية.
* التكامل غير المحدود يعطي دالة (العائلة من الدوال).
* إذا كانت الدالة `f(x)` سالبة على جزء من الفترة `[a, b]`، فإن مساهمة هذا الجزء في التكامل تكون سالبة. لذلك، يعطي التكامل المحدود مساحة "مع إشارة".


يُعتبر فهم التكامل المحدود أساسًا لفهم العديد من المفاهيم المتقدمة في الرياضيات والعلوم التطبيقية.