هناك طريقتان رئيسيتان لحل المعادلات التربيعية :

1. القانون العام (الصيغة العامة):

يستخدم القانون العام لحل *أي* معادلة تربيعية من الشكل:

ax² + bx + c = 0

حيث a، b، و c هي أعداد حقيقية و a ≠ 0. صيغة القانون العام هي:

x = [-b ± √(b² - 4ac)] / 2a

حيث:

* x هما جذري المعادلة (الحلين).
* ± يعني أن هناك حلين: حل موجب وآخر سالب.
* b² - 4ac يُسمى المميز (راجع الشرح أدناه).


2. التحليل إلى عوامل (التجزيء):

هذه طريقة أبسط من القانون العام، لكنها لا تعمل دائماً. تعتمد على تحليل المقدار التربيعي (ax² + bx + c) إلى عاملين خطيين. فمثلاً، إذا كانت المعادلة:

x² + 5x + 6 = 0

يمكن تحليلها إلى:

(x + 2)(x + 3) = 0

وبالتالي، تكون الحلول x = -2 و x = -3. هذه الطريقة أسهل وأسرع عندما يكون التحليل ممكناً بسهولة، لكنها قد تكون صعبة أو مستحيلة في بعض الحالات.

المميز (Discriminant):

المميز، b² - 4ac، يحدد طبيعة جذري المعادلة التربيعية:

*

إذا كان b² - 4ac u003e 0:

المعادلة لها جذرين حقيقيين مختلفين.
*

إذا كان b² - 4ac = 0:

المعادلة لها جذر حقيقي واحد (متكرر).
*

إذا كان b² - 4ac u003c 0:

المعادلة ليس لها جذور حقيقية، بل جذران مركبان (مترافقان).


باختصار، القانون العام هو الطريقة الشاملة لحل أي معادلة تربيعية، بينما التحليل إلى عوامل طريقة أسرع وأبسط عندما يكون ممكناً. المميز أداة مفيدة لتحديد طبيعة جذور المعادلة قبل البدء في الحل.