التجربة العشوائية هي أي عملية يمكن أن تنتج أكثر من نتيجة واحدة، ولا يمكن التنبؤ بالنتيجة المحددة مسبقاً حتى يتم إجراء التجربة. بمعنى آخر، هي تجربة فيها عنصر من عناصر الصدفة أو الحظ. تتميز النتائج المحتملة لتجربة عشوائية بعدم اليقين، ولكن مع تكرار التجربة بشكل كبير، تظهر أنماط احتمالية.

أمثلة على التجارب العشوائية :

* رمي قطعة نقود: النتائج المحتملة هي صورة أو كتابة.
* رمي حجر نرد: النتائج المحتملة هي الأرقام من 1 إلى 6.
* سحب كرة من كيس يحتوي على كرات ملونة مختلفة: النتيجة المحتملة هي لون الكرة المسحوبة.
* قياس طول عشوائي لنباتات من نفس النوع: النتائج المحتملة هي قياسات مختلفة لأطوال النباتات.

طرق حل مسائل التجارب العشوائية:

تعتمد طريقة حل مسألة تجربة عشوائية على نوع السؤال المطروح، ولكنها عمومًا تتضمن:

1-تحديد فضاء العينة (Sample Space): فضاء العينة هو مجموعة جميع النتائج المحتملة للتجربة العشوائية. مثلاً، في رمي قطعة نقود، فضاء العينة هو {صورة، كتابة}. في رمي حجر نرد، فضاء العينة هو {1، 2، 3، 4، 5، 6}.

2-تحديد الحدث (Event): الحدث هو مجموعة فرعية من فضاء العينة. مثلاً، في رمي حجر نرد، الحدث "الحصول على عدد زوجي" هو {2، 4، 6}.

3-حساب الاحتمال (Probability): الاحتمال هو مقياس لمدى احتمالية حدوث حدث معين. يحسب الاحتمال عادةً على النحو التالي:

`P(حدث) = (عدد النتائج المفضلة) / (عدد جميع النتائج المحتملة)`

مثلاً، احتمال الحصول على عدد زوجي في رمي حجر نرد هو: 3/6 = 1/2 = 0.5

طرق إضافية لحل مسائل الاحتمالات المعقدة:

*

شجرة الاحتمالات (Probability Tree):

يستخدم لرسم جميع النتائج المحتملة لسلسلة من التجارب العشوائية.
*

مخطط فين (Venn Diagram):

يستخدم لتمثيل العلاقات بين أحداث مختلفة، وخاصةً عند التعامل مع الاتحاد والتقاطع للأحداث.
*

قاعدة الضرب (Multiplication Rule):

يستخدم لحساب احتمال حدوث سلسلتين من الأحداث المستقلة.
*

قاعدة الجمع (Addition Rule):

يستخدم لحساب احتمال حدوث حدثين متنافيين (لا يمكن أن يحدثا معًا).
*

الاحتمال الشرطي (Conditional Probability):

يستخدم لحساب احتمال حدوث حدث معين، مع العلم بحدوث حدث آخر.
*

نظرية بايز (Bayes[SQ] Theorem):

يستخدم لحساب الاحتمال الشرطي في الحالات الأكثر تعقيدًا.

مثال:

لنفترض لدينا كيس يحتوي على 5 كرات حمراء و 3 كرات زرقاء. نسحب كرتين بشكل عشوائي بدون إرجاع. ما هو احتمال أن تكون الكرتان حمراء؟

1-فضاء العينة: ليس من السهل تعداد جميع النتائج هنا، حيث توجد ٨ × ٧ = ٥٦ نتيجة ممكنة.

2-الحدث: سحب كرتين حمراء.

3-الاحتمال: عدد الطرق لاختيار كرتين حمراء من 5 هو ⁵C₂ = 10 (حيث ⁵C₂ هو تركيبة 5 أخذ 2)
عدد الطرق لاختيار كرتين من 8 هو ⁸C₂ = 28

احتمال سحب كرتين حمراء هو: (¹⁰/₂₈) = (٥/١٤)


بشكل عام، حل مسائل التجارب العشوائية يتطلب فهمًا جيدًا لمفاهيم الاحتمال، فضاء العينة، والأحداث، بالإضافة إلى القدرة على تطبيق القواعد والنظريات الاحتمالية المناسبة. استخدام الرسومات التوضيحية، مثل شجرة الاحتمالات أو مخطط فين، يمكن أن يسهل فهم المشكلة وحلها.