الأسس النسبية (أو القوى الكسرية) هي تعميم لفكرة الأسس الصحيحة إلى الأعداد الكسرية. ببساطة، هي طريقة لكتابة الجذور على شكل أسس. تعتمد على العلاقة بين الأسس والجذور، حيث يمكننا التعبير عن الجذر n-th للعدد a على الشكل au003csupu003e1/nu003c/supu003e.

الأساسات :

*

au003csupu003em/nu003c/supu003e = (au003csupu003e1/nu003c/supu003e)u003csupu003emu003c/supu003e = (au003csupu003emu003c/supu003e)u003csupu003e1/nu003c/supu003e:

هذه هي الصيغة الأساسية للأسس النسبية، حيث:
* `a` هو الأساس (العدد الذي يُرفع للأس).
* `m` هو البسط (الأس).
* `n` هو المقام (مؤشر الجذر).

* au003csupu003e1/nu003c/supu003e = u003csupu003enu003c/supu003e√a:

هذا يعني أن au003csupu003e1/nu003c/supu003e هو الجذر n-th للعدد a. على سبيل المثال، 8u003csupu003e1/3u003c/supu003e = ³√8 = 2.

* au003csupu003em/nu003c/supu003e = u003csupu003enu003c/supu003e√(au003csupu003emu003c/supu003e) = (u003csupu003enu003c/supu003e√a)u003csupu003emu003c/supu003e:

يُمكن حساب الأس النسبي بطريقتين متكافئتين: إما رفع الأساس للأس البسط أولاً ثم أخذ الجذر، أو أخذ الجذر أولاً ثم رفع الناتج للأس البسط. على سبيل المثال، 8u003csupu003e2/3u003c/supu003e = ³√(8²) = (³√8)² = 2² = 4.

أمثلة:

* 4u003csupu003e1/2u003c/supu003e = √4 = 2
* 27u003csupu003e1/3u003c/supu003e = ³√27 = 3
* 16u003csupu003e3/4u003c/supu003e = (16u003csupu003e1/4u003c/supu003e)³ = (√(√16))³ = 2³ = 8 أو 16u003csupu003e3/4u003c/supu003e = (16³)u003csupu003e1/4u003c/supu003e = 4096u003csupu003e1/4u003c/supu003e = √(√(√4096)) = 8
* 9u003csupu003e-1/2u003c/supu003e = 1/9u003csupu003e1/2u003c/supu003e = 1/√9 = 1/3

قواعد الأسس النسبية:

تخضع الأسس النسبية لنفس قواعد الأسس الصحيحة، بما في ذلك:

*

au003csupu003emu003c/supu003e * au003csupu003enu003c/supu003e = au003csupu003em+nu003c/supu003e

*

au003csupu003emu003c/supu003e / au003csupu003enu003c/supu003e = au003csupu003em-nu003c/supu003e

*

(au003csupu003emu003c/supu003e)u003csupu003enu003c/supu003e = au003csupu003emnu003c/supu003e

*

(ab)u003csupu003emu003c/supu003e = au003csupu003emu003c/supu003ebu003csupu003emu003c/supu003e

*

(a/b)u003csupu003emu003c/supu003e = au003csupu003emu003c/supu003e/bu003csupu003emu003c/supu003e

أهمية الأسس النسبية:

تُستخدم الأسس النسبية في العديد من المجالات، بما في ذلك:

*

الجبر:

تبسيط التعابير الجبرية وحلها.
*

التفاضل والتكامل:

حساب المشتقات والتكاملات.
*

الفيزياء:

نمذجة الظواهر الفيزيائية.
*

الهندسة:

حساب المساحات والحجوم.

باختصار، الأسس النسبية هي أداة قوية تُسهل التعامل مع الجذور والأسس بشكل أكثر فعالية وتُتيح حلّ معادلات رياضية أكثر تعقيدًا.