حاصل ضرب المجموعات، حتى غير المنتهية، هو مفهوم أساسي في نظرية المجموعات. يُعرّف بشكل عام على أنه مجموعة جميع الأزواج المرتبة التي يمكن تشكيلها عن طريق أخذ عنصر من كل مجموعة. دعونا ننظر في حالات مختلفة :

1. حاصل ضرب مجموعتين منتهيتين:

هذا هو أبسط شكل. إذا كان لدينا مجموعتان A و B، حيث |A| = m و |B| = n (عدد عناصر كل مجموعة)، فإن حاصل ضربهما المباشر (A × B) يُعرّف على أنه:

A × B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B}

وبالتالي، فإن عدد عناصر A × B هو m * n.

2. حاصل ضرب مجموعة منتهية ومجموعة غير منتهية:

إذا كانت A مجموعة منتهية و B مجموعة غير منتهية، فإن حاصل ضربهما المباشر A × B سيكون مجموعة غير منتهية. يحتوي على جميع الأزواج المرتبة حيث العنصر الأول من A والعنصر الثاني من B. عدد العناصر في A × B يساوي عدد عناصر B (كلاهما غير منتهي). مثال: إذا كانت A = {1, 2} و B = ℤ (مجموعة الأعداد الصحيحة)، فإن A × B سيكون مجموعة غير منتهية.

3. حاصل ضرب مجموعتين غير منتهيتين:

هنا، تصبح الأمور أكثر تعقيدًا قليلاً، ويعتمد الحجم الناتج على نوع المجموعات غير المنتهية. يُشار إلى حجم المجموعات غير المنتهية باستخدام أعداد الكاردينال. مثال:

*

حاصل ضرب ℝ × ℝ (مجموعة الأعداد الحقيقية):

يمثل مستوى ثنائي الأبعاد، وهو مجموعة غير منتهية ذات حجم يساوي حجم ℝ (أي، كلاهما له نفس القدر من العناصر).

*

حاصل ضرب مجموعات غير منتهية مختلفة:

يمكن أن يكون حجم المجموعات غير المنتهية مختلفًا، مما يؤدي إلى نتائج متنوعة. يعتمد تحديد عدد عناصر حاصل الضرب في هذه الحالات على فهم أعداد الكاردينال بشكل دقيق.

الخصائص العامة لحاصل ضرب المجموعات (سواء منتهية أو غير منتهية):

*

الجمعية:

A × (B × C) ≠ (A × B) × C
*

التوزيعية:

A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C)
*

غير التبديلية:

A × B ≠ B × A (إلا إذا كانت A = B)

الخلاصة:

حاصل ضرب المجموعات غير المنتهية هو مفهوم قوي ومعقد. تختلف طريقة تحديد حجمه وحجمه حسب نوع المجموعات غير المنتهية المعنية. يتطلب فهم عميق لنظرية المجموعات وأعداد الكاردينال لفهم هذا الموضوع بشكل كامل.