المعادلة الخطية هي معادلة رياضية تعبر عن علاقة خطية بين متغيرين أو أكثر. تتميز بكونها من الدرجة الأولى، بمعنى أن أعلى أسّ للمتغيرات فيها هو واحد. يمكن تمثيلها بيانياً بخط مستقيم.

إليك شرح مفصل :

1. شكل المعادلة:

تظهر المعادلة الخطية بشكل عام في أحد الأشكال التالية:

*

الشكل القياسي:

Ax + By = C ، حيث A و B و C أعداد ثابتة، و A و B ليسا صفراً في نفس الوقت. x و y هما المتغيرات.
*

الشكل الميل-المقطع:

y = mx + b ، حيث m هو ميل الخط (يمثل انحدار الخط)، و b هو المقطع الصادي (النقطة التي يقطع فيها الخط محور y).
*

الشكل العام:

Ax + By + C = 0

2. عناصر المعادلة:

*

المتغيرات (Variables):

عادة ما تكون x و y، وتمثل قيمًا غير معروفة.
*

الثوابت (Constants):

A, B, C, m, b هي أعداد ثابتة معروفة.
*

الميل (Slope):

في الشكل الميل-المقطع (m)، يمثل مقدار التغير في y مقابل كل تغير في x. ميل خط أفقي يساوي صفر، وميل خط رأسي غير معرف.
*

المقطع الصادي (Y-intercept):

في الشكل الميل-المقطع (b)، يمثل قيمة y عندما تكون x تساوي صفرًا، أي النقطة التي يقطع فيها الخط محور y.

3. حل المعادلة:

حل المعادلة الخطية يعني إيجاد قيم المتغيرات التي تحقق المعادلة. في حالة متغيرين (x و y)، يكون الحل زوج مرتب (x, y) يرضي المعادلة. يمكن حل المعادلات الخطية بعدة طرق، منها:

*

الحل بالتعويض:

حل معادلة لإيجاد قيمة أحد المتغيرات بدلالة الآخر، ثم تعويض هذه القيمة في المعادلة الأخرى.
*

الحل بالجمع أو الطرح:

جمع أو طرح المعادلتين لإزالة أحد المتغيرات.
*

الحل بيانياً:

رسم خطي المعادلتين على نفس المستوى الإحداثي، وإيجاد نقطة تقاطعهما.

4. أمثلة:

* 2x + 3y = 6 (شكل قياسي)
* y = 2x + 1 (شكل ميل-مقطع، الميل = 2، المقطع الصادي = 1)
* x - 4y + 8 = 0 (شكل عام)

5. تطبيقات المعادلات الخطية:

تُستخدم المعادلات الخطية على نطاق واسع في العديد من المجالات، منها:

*

الفيزياء:

وصف الحركة المنتظمة، والقوى، والطاقة.
*

الهندسة:

حساب الأبعاد، والمساحات، والحجوم.
*

الاقتصاد:

نمذجة العرض والطلب، والأسعار.
*

علوم الكمبيوتر:

خوارزميات البحث، ونمذجة البيانات.


باختصار، المعادلات الخطية هي أدوات أساسية في الرياضيات و لها تطبيقات واسعة في العديد من المجالات. فهم خواصها وطرق حلها أمر مهم جداً لفهم الكثير من المفاهيم الرياضية والعلمية الأخرى.