العدد المركب هو عدد من الشكل a + bi، حيث :

*

a

هو الجزء الحقيقي للعدد (Real part)، وهو عدد حقيقي.
*

b

هو الجزء التخيلي للعدد (Imaginary part)، وهو أيضًا عدد حقيقي.
*

i

هو الوحدة التخيلية (Imaginary unit)، ويتم تعريفه على أنه الجذر التربيعي لـ -1 (i² = -1).

أمثلة على الأعداد المركبة:

* 3 + 2i
* -1 - i
* 5 (يمكن كتابته على شكل 5 + 0i)
* 4i (يمكن كتابته على شكل 0 + 4i)

خصائص الأعداد المركبة:

*

الجمع والطرح:

يتم جمع أو طرح الأعداد المركبة بجمع أو طرح الأجزاء الحقيقية والتخيلية بشكل منفصل. مثال: (2 + 3i) + (1 - i) = (2+1) + (3-1)i = 3 + 2i
* الضرب:

يتم ضرب الأعداد المركبة باستخدام خاصية التوزيع، مع مراعاة أن i² = -1. مثال: (2 + 3i)(1 - i) = 2 - 2i + 3i - 3i² = 2 + i + 3 = 5 + i
*

القسمة:

يتم قسمة الأعداد المركبة بضرب البسط والمقام بمرافق المقام. مرافق العدد المركب a + bi هو a - bi.
*

المرافق:

مرافق العدد المركب a + bi هو a - bi.
*

المقياس (المدول):

مقياس العدد المركب a + bi هو |a + bi| = √(a² + b²)

تمثيل الأعداد المركبة:

يمكن تمثيل الأعداد المركبة بيانياً في مستوى مركب (مستوى غاوس)، حيث يُمثل المحور الأفقي الجزء الحقيقي، والمحور الرأسي الجزء التخيلي.


الأعداد المركبة لها تطبيقات واسعة في مجالات الرياضيات والعلوم والهندسة، مثل:

*

الهندسة الكهربائية:

تحليل الدوائر الكهربائية.
*

معالجة الإشارات:

تحليل الإشارات.
*

ميكانيكا الكم:

وصف سلوك الجسيمات دون الذرية.
*

الرياضيات البحتة:

حل المعادلات الرياضية.


باختصار، الأعداد المركبة توسع مفهوم الأعداد الحقيقية لتشمل الجذر التربيعي للأعداد السالبة، ولها خصائص عملية فريدة وتطبيقات واسعة في مجالات متعددة.